【題目】如圖,在矩形中,點
在對角線
上,以
的長為半徑的圓
與
分別交于點
,且
.
(1)求證:是圓
所在圓的切線;
(2)若,
,求⊙O的半徑.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】分析:
(1)如下圖,連接OE,由已知條件易證∠DAC=∠ACB=∠DCE,∠AEO=∠DAC,由此可得∠AEO=∠DCE,結合∠DCE+∠AEC=90°,可得∠AEO+∠DEC=90°從而可得∠CEO=180°-90°=90°,由此可得OE⊥CE,從而可得OE是⊙O的切線;
(2)由tan∠BAC=,BC=2可得AB=
由此可得CD=
,AC=
,由∠DCE=∠ACB可得tan∠DCE=tan∠ACB=
,則DE=DCtan∠DCE=1,這樣在Rt△DCE中可得CE=
,設⊙O的半徑為r,在Rt△CEO中由勾股定理建立方程,解方程即可求得r的值.
詳解:
(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴BC∥AD,∠ACB=∠DAC;
又∵∠ACB=∠DCE,
∴∠DAC=∠DCE,
連接OE,則∠DAC=∠AEO=∠DCE,
∵∠DCE+∠DEC=90°,
∴∠AEO+∠DEC=90°,
∴∠OEC=90°,即OE⊥CE,
又OE是⊙O的半徑,
∴直線CE與⊙O相切 ;
(2)∵tan∠BAC=,BC=2,
∴AB =,
∴AC=,
∵∠DCE=∠ACB,
∴tan∠DCE=tan∠ACB=,
∴DE=DCtan∠DCE=1,
在Rt△CDE中,CE= ,
設⊙O的半徑為r,則在Rt△COE中,CO2=OE2+CE2,
即,
解得:.
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【題目】已知:如圖,在菱形ABCD中,點E,O,F分別為AB,AC,AD的中點,連接CE,CF,OE,OF.
(1)求證:△BCE≌△DCF;
(2)當AB與BC滿足什么關系時,四邊形AEOF是正方形?請說明理由.
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【題目】如圖,△ABC的面積為8cm2,AP垂直∠B的平分線BP于P,則△PBC的面積為( 。
A. 2cm2 B. 3cm2 C. 4cm2 D. 5cm2
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【題目】綜合與探究
閱讀理解:數軸是學習有理數的一種重要工具,任何有理數都可以用數軸上的點表示,這樣能夠運用數形結合的方法解決一些問題.例如,兩個有理數在數軸上對應的點之間的距離可以用較大數與較小數的差來表示.例如:
在數軸上,有理數3與1對應的兩點之間的距離為;
在數軸上,有理數3與-2對應的兩點之間的距離為;
在數軸上,有理數-3與-2對應的兩點之間的距離為.
解決問題:如圖所示,已知點表示的數為-3,點
表示的數為-1,點
表示的數為2.
(1)點和點
之間的距離為______.
(2)若數軸上動點表示的數為
,當
時,點
和點
之間的距離可表示為______;當
時,點
和點
之間的距離可表示為______.
(3)若數軸上動點表示的數為
,點
在點
和點
之間,點
和點
之間的距離表示為
,點
和點
之間的距離表示為
,求
(用含
的代數式表示并進行化簡)
(4)若數軸上動點表示的數為-2,將點
向右移動19個單位長度,再向左移動23個單位長度終點為
,那么
,
兩點之間的距離是______.
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【題目】如圖,已知反比例函數的圖象經過第二象限內的點A(
,4),AB⊥x軸于點B,△AOB的面積為2,若直線
經過點A,并且經過反比例函數
的圖象上另一點C(2,
).
(1)求反比例函數和直線的解析式;
(2)設直線與
軸交于點M,求AM的長.
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【題目】下圖的數陣是由全體奇數排成:
(1)圖中平行四邊形框內的九個數之和與中間的數有什么關系?
(2)在數陣圖中任意作一類似(1)中的平行四邊形框,這九個數之和還有這種規律嗎?請說出理由;
(3)這九個數之和能等于1998嗎?2005,1017呢?若能,請寫出這九個數中最小的一個;若不能,請說出理由.
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【題目】下圖是昌平區2019年1月份每天的最低和最高氣溫,觀察此圖,下列說法正確的是( )
A.在1月份中,最高氣溫為10℃,最低氣溫為-2℃
B.在10號至16號的氣溫中,每天溫差最小為7℃
C.每天的最高氣溫均高于0℃,最低氣溫均低于0℃
D.每天的最高氣溫與最低氣溫都是具有相反意義的量
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【題目】已知邊長為4的正方形ABCD,頂點A與坐標原點重合,一反比例函數圖象過頂點C,動點P以每秒1個單位速度從點A出發沿AB方向運動,動點Q同時以每秒4個單位速度從D點出發沿正方形的邊DC﹣CB﹣BA方向順時針折線運動,當點P與點Q相遇時停止運動,設點P的運動時間為t.
(1)求出該反比例函數解析式;
(2)連接PD,當以點Q和正方形的某兩個頂點組成的三角形和△PAD全等時,求點Q的坐標;
(3)用含t的代數式表示以點Q、P、D為頂點的三角形的面積s,并指出相應t的取值.
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【題目】如果有一列數,從這列數的第2個數開始,每一個數與它的前一個數的比等于同一個非零的常數,這樣的一列數就叫做等比數列(Geometric Sequences).這個常數叫做等比數列的公比,通常用字母q表示(q≠0).
(1)觀察一個等比列數1,,…,它的公比q= ;如果an(n為正整數)表示這個等比數列的第n項,那么a18= ,an= ;
(2)如果欲求1+2+4+8+16+…+230的值,可以按照如下步驟進行:
令S=1+2+4+8+16+…+230…①
等式兩邊同時乘以2,得2S=2+4+8+16++32+…+231…②
由② ﹣ ①式,得2S﹣S=231﹣1
即(2﹣1)S=231﹣1
所以
請根據以上的解答過程,求3+32+33+…+323的值;
(3)用由特殊到一般的方法探索:若數列a1,a2,a3,…,an,從第二項開始每一項與前一項之比的常數為q,請用含a1,q,n的代數式表示an;如果這個常數q≠1,請用含a1,q,n的代數式表示a1+a2+a3+…+an.
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