Question

【題目】如圖所示，將矩形紙片OABC放置在直角坐標系中，點A(3，0)，點C(0，).

(I).如圖，經過點O、B折疊紙片，得折痕OB，點A的對應點為,求的度數；

(Ⅱ)如圖，點M、N分別為邊OA、BC上的動點，經過點M、N折疊紙片，得折痕MN，點B的對應點為

①當點B的坐標為(-1，0)時，請你判斷四邊形的形狀，并求出它的周長；

②若點N與點C重合，當點落在坐標軸上時，直接寫出點M的坐標.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)30°；(Ⅱ)①四邊形為菱形，周長為；②(3+，0)或(，0).

【解析】

（Ⅰ）由點A、C的坐標可得出OA、AB的長，即可求出tan∠BOA的值，根據特殊角的三角函數值可得∠BOA的度數，根據折疊的性質利用角的和差關系即可得答案；（Ⅱ）①連接，交MN與點E．點B，關于MN對稱可得MN是BB1的垂直平分線，即可得出，，BN=B1N，BM=B1M，根據矩形的性質可得．即可證明，進而可得，即可證明四邊形B1MBN是菱形，過N作，垂足為F，設，在Rt△NFB1中，利用勾股定理列方程求出x的值即可得出答案；②分別討論B1在y軸和x軸兩種情況，根據折疊的性質即可得答案.

（Ⅰ）∵矩形OABC，

∴．

，

∴．

∵點A的對應點為A1，

∴．

∴．

（Ⅱ）①連接，交MN與點E．

∵點B，關于MN對稱，

∴MN垂直平分，

∴BN=B1N，BM=B1M，，．

∵，

∴．

∴．

∴．

∴BN=B1N=B1M=BM，

∴四邊形為菱形．

過N作，垂足為F．

設，則，．

在中，，

∴，

解得．

∴菱形的周長為．

②如圖，當B1在y軸上時，CM是BB1的垂直平分線，

∴BC=B1C，

∵∠BCB1=90°，

∴∠B1CM=45°，

∴OM=OC=，

∴點M的坐標為（，0）.

如圖，當B1在x軸上時，CM是BB1的垂直平分線，

∴B1C=BC=3，

∴OB1===，

∵∠BCD=∠B1MD，∠B1DM=∠BDC=90°，BD=B1D，

∴△BCD≌△B1MD，

∴B1M=BC=3，

∴OM=OB1+B1M=3+，

∴點M的坐標為（3+，0）

綜上所述：點M的坐標為（3+，0）或（，0）.