Question

【題目】如圖，在正方形中，以為邊作等邊，延長分別交于點，連接與相交于點，給出下列結論： ①；②；③；④；其中正確的是（ ）

A.①②③④B.②③C.①②④D.①③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據等邊三角形、正方形的性質求得∠ABE=30°，利用直角三角形中30°角的性質即可判斷①；證得PC=CD，利用三角形內角和定理即可求得∠PDC，可求得∠BPD，即可判斷②；求得∠FDP=15°，∠PBD=15°，即可證明△PDE∽△DBE，判斷③正確；利用相似三角形對應邊成比例可判斷④．

∵△BPC是等邊三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，

∴，
∴；故①正確；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=∠CPD ===75°，

∴∠BPD=∠BPC+ ∠CPD =60°+75°=135°，故②正確；
∵∠PDC=75°，

∴∠FDP=∠ADC -∠PDC=90°- 75°=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=∠DBA -∠ABE =45°-30°=15°，
∴∠EDP=∠EBD，
∵∠DEP=∠DEP，
∴△PDE∽△DBE，故③正確；
∵△PDE∽△DBE，

∴，即，故④正確；

綜上：①②③④都是正確的．
故選：A．