Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，，CE⊥AD于點E．

（1）求證：AE＝CE；

（2）若tanD＝3，求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AB＝4

【解析】

(1)過點B作BF⊥CE于F，根據同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角邊”證明△BCF和△CDE全等，根據全等三角形對應邊相等可得BF=CE，再證明四邊形AEFB是矩形，根據矩形的對邊相等可得AE=BF，從而得證；

(2)由(1)可知：CF=DE，四邊形AEFB是矩形，從而求得AB=EF，利用銳角三角函數的定義得出DE和CE的長，即可求得AB的長．

（1）證明：

過點B作BH⊥CE于H，如圖1．

∵CE⊥AD，

∴∠BHC＝∠CED＝90°，∠1＋∠D＝90°．

∵∠BCD＝90°，

∴∠1＋∠2＝90°，

∴∠2＝∠D．

又BC＝CD

∴△BHC≌△CED（AAS）．

∴BH＝CE．

∵BH⊥CE，CE⊥AD，∠A＝90°，

∴四邊形ABHE是矩形，

∴AE＝BH．

∴AE＝CE．

（2）∵四邊形ABHE是矩形，

∴AB＝HE．

∵在Rt△CED中，，

設DE＝x，CE＝3x，

∴．

∴x＝2．

∴DE＝2，CE＝6．

∵CH＝DE＝2．

∴AB＝HE＝6－2＝4．