Question

2．已知：如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連結DH與BE相交于點G．
（1）判斷AC與圖中的那條線段相等，并證明你的結論；
（2）若CE的長為$\sqrt{3}$，求BG的長．

Answer 1

分析 （1）根據等腰直角三角形的性質得出BD=CD，根據AAS證明Rt△DFB與Rt△DAC全等即可；
（2）連結CG，利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和勾股定理解答即可．

解答 （1）證明：∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD=CD，
∵BE⊥AC于E，
∴∠BEC=90°，
∵∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA，
在Rt△DFB與Rt△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBF=∠DCA}\\{∠FDB=∠CDA}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△DFB≌Rt△DAC，
∴BF=AC；
（2）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°，
∵BE⊥AC于E，
∴∠BEA=∠BEC=90°，
又∵BE=BE，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC，
∴CE=AE．
連結CG，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD，
又H是BC邊的中點，
∴DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC，
∴BG=CG，
∵∠EBC=22.5°，
∴∠GCB=22.5°，
∴∠EGC=45°，
∴Rt△CEG是等腰直角三角形，
∵CE的長為$\sqrt{3}$，
∴EG=$\sqrt{3}$，
利用勾股定理得：CE²+GE²=GC²，
∴${（\sqrt{3}）^2}+{（\sqrt{3}）^2}=G{C^2}$，
∴$GC=\sqrt{6}$，
∴BG的長為$\sqrt{6}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的判定與性質，熟練掌握三角形全等的判定方法并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．