Question

【題目】附加題：如圖，直線：與軸、軸分別交于點、，經過、兩點的拋物線與軸的另一個交點為．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若點在直線下方的拋物線上，過點作軸交于點，軸交于點，求的最大值；

（3）設為直線上的點，以、、、為頂點的四邊形能否構成平行四邊形？若能，求出點的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3；（3）能，或

【解析】

（1）先求點B與點C的坐標，再將求得的坐標代入拋物線求解方程組即得．

（2）由（1）先設點坐標，其中點P的橫坐標為m，再將PD+PE用含m的式子表示，最后利用二次函數的性質求出最大值；

（3）當AB為平行四邊形的邊時，設點的坐標，進而利用列方程求解即得；當AB為平行四邊形的對角線時，先求交于點的坐標，再利用列方程求解即得．

解：（1）∵直線與軸、軸分別交于點、，

∴、，

∵、在拋物線上，

∴解得：，

∴拋物線的解析式為

（2）設

∵軸，軸，點及點都在直線上，

∴，，

∴

∴當時，的最大值是3；

（3）能，理由如下：

由，令，解得：或，

∴，

∴，

若以、、、為頂點的四邊形能構成平行四邊形，

①當以為邊時，則且

設，則，

∴，

解得：或（與重合，舍去），

∴

②當以為對角線時，連接交于點，則，，

設，∵，，

∴，∴，∴，

如圖，作于點，于點，則，，

設，則，

∴，

解得：或（與重合，舍去），

∴，

綜上所述，以、、、為頂點的四邊形能構成平行四邊形，此時點的坐標為或．