Question

【題目】已知，拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，且AB=4，頂點P(3，-4)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點M在拋物線上，且△MAB的面積為24，求M點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-6x+5；（2）M1(-1，12)，M2(7，12)

【解析】

（1）先求出拋物線的對稱軸，從而求出點A和點B的坐標，設拋物線的解析式為：y=a(x-3)2-4，將點B的坐標代入即可求出結論；

（2）設點M(m，m2-6m+5)，根據三角形的面積公式可得AB|m2-6m+5|=24，解一元二次方程即可求出結論．

解：（1）∵拋物線的頂點P(3，-4)，

∴拋物線的對稱軸為直線x=3．

又在x軸上所截得的線段AB的長為4，

∴點A、B到對稱軸的距離為2．

∴點A的坐標為(1，0)，點B的坐標為(5，0)．

設拋物線的解析式為：y=a(x-3)2-4．

將點B(5，0)代入可得:0=a(5-3)2-4．

解得a=1．

故拋物線的解析式為：y=(x-3)2-4，即y=x2-6x+5．

（2）設點M(m，m2-6m+5)，

∵S△MAB=24，

∴AB|m2-6m+5|=24，即m2-6m+5=±12．

∴m2-6m+5=12或m2-6m+5=-12．

由m2-6m+5=12得m2-6m-7=0．

解得：x1=-1，x2=7，

∴M1(-1，12)，M2(7，12)；

由m2-6m+5=-12得m2-6m+17=0．

=(-6)2-4×17=-32＜0．

∴方程無解，舍去．

綜上：M1(-1，12)，M2(7，12)．