Question

【題目】如圖AB是半圓O的直徑，半徑OC⊥AB于點O，AD平分∠CAB分別交OC于點E，交弧BC于點D，連結CD、OD，給出以下5個結論：①OD∥AC；②AC＝2CD；③2CD2＝CEAB；④S△AEC＝2S△DEO；⑤線段OD是DE與DA的比例中項．其中正確結論的序號( )

A. ①②③ B. ①④⑤ C. ①③④ D. ①③④⑤

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據“圓的相關性質和相似三角形的判定與性質”結合已知條件進行分析判斷即可.

（1）∵AD平均∠CAB，

∴∠CAD=∠BAD，

∵OA=OD，

∴∠BAD=∠ADO，

∴∠CAD=∠ADO，

∴OD∥AC，即結論①成立；

（2）連接BC，∵OC⊥AB，

∴AC=BC，

∵AD平均∠BAC，

∴點D是的中點，

∴CD=BD，

∵在△BCD中，CD+BD>BC，

∴2CD>BC，

∴2CD>AC，即結論②不成立；

（3）∵OC⊥AB，

∴∠AOC=∠BOC=90°，

∴∠CDE=∠AOC=45°，

∵點D是的中點，

∴∠COD=∠BOC=45°，

∴∠CDE=∠COD，

又∵∠DCE=∠OCD，

∴△CDE∽△COD，

∴CD：CO=CE：CD，

∴CD2=CE·CO，

∵CO=AO=AB，

∴CD2=CE·AB，

∴2CD2=CE·AB，即結論③成立；

（4）∵AC∥OD，

∴△ACE∽△DOE，

∴S△ACE：S△DOE=，

∵△AOC中，∠AOC=90°，OA=OC，

∴AC：OC=，

∴S△ACE：S△DOE=2：1，

∴S△ACE=2S△DOE，即結論④成立；

（5）∵在△AOD中，AO=DO，∠AOD=∠AOC+∠COD=135°，

∴∠OAD=∠ODA=22.5°，

∵在△DOE中，∠DOE=45°，∠ODE=22.5°，

∴∠DEO=180°-45°-22.5°=112.5°，

由此可知△AOD是等腰三角形，而△DOE不是等腰三角形，

∴△AOD和△OED不可能相似，

∴無法證明OD是AD和DE的比例中項，即結論⑤不成立.

綜上所述，上述5個結論中，成立的是①③④.

故選C.