Question

【題目】一個邊長為60米的正六邊形跑道，P、Q兩人同時從A處開始沿相反方向都跑一圈后停止，P以4米/秒逆時針方向、Q以5米/秒順時針方向，PQ的距離為d米，設跑步時間為x秒，令d2＝y，

（1）跑道全長為　 　米，經過　 　秒兩人第一次相遇．

（2）當P在BC上，Q在EF上時，求y關于x的函數解析式；并求相遇前當x為多少時，他們之間的距離最大．

（3）直接寫出P、Q在整個運動過程中距離最大時的x的值及最大的距離．

Answer 1

【答案】（1）360，40；（2）當x＝24時，d的最大值為12米；（3）PQ的最大值為120米．

【解析】

（1）由正六邊形的性質可得跑道全長；根據相遇時P、Q兩人的路程之和等于跑道全長列出方程，即可求解；

（2）如圖，連接BF，過點Q作QH⊥BC于H，可證四邊形FBHQ是矩形，可得QH＝BF，而FB易求，則QH可得，顯然PH就是Q跑x秒的路程減去P跑x秒的路程，于是PH可得，再由勾股定理即可求出y關于x的函數解析式，然后根據二次函數的性質求解即可；

（3）根據正六邊形的性質可知：點A，B，C，D，E，F在以AD中點為圓心，AB長為半徑的圓上，則可得當PQ為直徑時，PQ的值最大，據此解答即可．

解：（1）∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF＝60米，

∴跑道全長＝6×60＝360米，

∴4x+5x＝360，∴x＝40s，即經過 40秒兩人第一次相遇．

故答案為：360，40；

（2）∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠A＝∠F＝∠B＝120°，

如圖，連接BF，過點Q作QH⊥BC于H，

∵∠A＝120°，AB＝AF＝60米，∴∠AFB＝∠ABF＝30°，BF＝60米，

∴∠BFE＝∠FBC＝90°，∴四邊形FBHQ是矩形，

∴QH＝BF＝60米，FQ＝BH，

∵AF+FQ＝5x米，AB+BP＝4x米，∴PH＝x米，

∴y＝QP2＝PH2+QH2，

∴y＝x2+10800，（15≤x≤24）

∴當x＝24時，d的最大值為12米；

（3）∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴點A，B，C，D，E，F在以AD中點為圓心，AB長為半徑的圓上，

∵當x＝60s時，5×60＝300米，則點Q與點B重合，4×60＝240米，則點P與點E重合，

∴BE為直徑時，如圖，P、Q之間的距離最大，

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴BE=2AB=120米，即PQ的最大值為120米．