Question

【題目】如圖，直線l：y＝﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經過點B，交x軸正半軸于點C．

（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內，連接AM、BM，設點M的橫坐標為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數表達式，并求出S的最大值及此時動點M的坐標；

（3）將點A繞原點旋轉得點A′，連接CA′、BA′，在旋轉過程中，一動點M從點B出發，沿線段BA′以每秒3個單位的速度運動到A′，再沿線段A′C以每秒1個單位長度的速度運動到C后停止，求點M在整個運動過程中用時最少是多少？

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）S與m的函數表達式是S＝，S的最大值是，此時動點M的坐標是（，）；（3）點M在整個運動過程中用時最少是秒．

【解析】

（1）首先求出B點的坐標，根據B點的坐標即可計算出二次函數的a值，進而即可計算出二次函數的解析式;

（2）計算出C點的坐標，設出M點的坐標，再根據△ABM的面積為S＝S四邊形OAMB﹣S△AOB＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB，化簡成二次函數，再根據二次函數求解最大值即可.

（3）首先證明△OHA′∽△OA′B，再結合A′H+A′C≥HC即可計算出t的最小值.

（1）將x＝0代入y＝﹣3x+3，得y＝3，

∴點B的坐標為（0，3），

∵拋物線y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經過點B，

∴3＝a+4，得a＝﹣1，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3；

（2）將y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，得x1＝﹣1，x2＝3，

∴點C的坐標為（3，0），

∵點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內，點M的橫坐標為m，

∴0＜m＜3，點M的坐標為（m，﹣m2+2m+3），

將y＝0代入y＝﹣3x+3，得x＝1，

∴點A的坐標（1，0），

∵△ABM的面積為S，

∴S＝S四邊形OAMB﹣S△AOB＝S△BOM+S△OAM﹣S△AOB＝，

化簡，得

S＝＝，

∴當m＝時，S取得最大值，此時S＝，此時點M的坐標為（，），

即S與m的函數表達式是S＝，S的最大值是，此時動點M的坐標是（，）；

（3）如右圖所示，取點H的坐標為（0，），連接HA′、OA′，

∵∠HOA′＝∠A′OB，，，

∴△OHA′∽△OA′B，

∴，

即，

∵A′H+A′C≥HC＝，

∴t≥，

即點M在整個運動過程中用時最少是秒．