Question

20．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，AD與CE相交于點F，FG⊥AB，FH⊥BC，垂足分別為G，H，求證：FE=FD．

Answer 1

分析 根據條件可得到FG=FH，再根據角的度數可求得∠HEF=75°=∠GDF，可證明△EFG≌△DFH，可得到FE=FD．

解答 證明：連接BF，
∵F是角平分線交點，
∴BF也是角平分線，
∴GF=FH，∠DHF=∠EGF=90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=15°，
∴∠CDA=75°，
∵∠HFC=45°，∠GFH=120°，
∴∠GFE=15°，
∴∠GEF=75°=∠HDF，
在△DHF和△EGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DHF=∠EGF}\\{∠HDF=∠GEF}\\{HF=GF}\end{array}\right.$，
∴△DHF≌△EGF（AAS），
∴FE=FD．

點評 本題主要考查角平分線的性質和全等三角形的判定和性質，利用所給的角度求得∠MEF=75°=∠NDF是解題的關鍵．