Question

【題目】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC是⊙O的直徑，D是劣弧的中點BD交AC于點E．

（1）求證：AD2＝DEDB．

（2）若BC＝5，CD＝，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）DE＝．

【解析】

（1）根據D是劣弧的中點，有∠DAC＝∠ABD，結合公共角∠ADB，證明△ABD∽△EAD列出比例式即可；

（2）根據D是劣弧的中點，有AD＝CD，故DC2＝DEDB，然后由BC是直徑，可得△BCD是直角三角形，利用勾股定理求出BD的長即可解決問題．

（1）證明：∵D是劣弧的中點，

∴，

∴∠ABD＝∠DAC，

又∵∠ADB＝∠EDA，

∴△ABD∽△EAD，

∴＝，

∴AD2＝DEDB；

（2）解：由D是劣弧的中點，得AD＝DC，則DC2＝DEDB，

∵BC是直徑，

∴△BCD是直角三角形，

∴BD＝＝＝2，

由DC2＝DEDB得：（）2＝2DE，

解得：DE＝．