Question

【題目】如圖，若是正數，直線：與軸交于點；直線：與軸交于點；拋物線：的頂點為，且與軸右交點為.

（1）若，求的值，并求此時的對稱軸與的交點坐標；

（2）當點在下方時，求點與距離的最大值；

（3）設，點，，分別在，和上，且是，的平均數，求點與點間的距離；

（4）在和所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標都是整數的點稱為“美點”，分別直接寫出和時“美點”的個數.

Answer 1

【答案】（1），；（2）1；（3）；（4）當時“美點”的個數為4040個，時“美點”的個數為1010個.

【解析】

（1）先求出A、B 的坐標，再由AB=8，可求出b的值，從而得到L的解析式，進而可求L的對稱軸與a的交點；

（2）通過配方，求出L的頂點坐標，由于點C在l下方，則C與l的距離，配方即可得出結論；

（3）由題意得y1+y2=2y3，進而可得b和x0的方程，解得x0的值，再求出L與x軸右交點D的坐標，即可得出結論；

（4）①當b=2019時，拋物線解析式L：y=﹣x2+2019x，直線a的解析式是：y=x﹣2019，由美點的定義可得美點的個數；②當b=2019.5時，拋物線解析式L：y=﹣x2+2019.5x，直線a的解析式是：y=x﹣2019.5，再由美點的定義即可得出美點的個數．

解：（1）當時，，∴.

∵，，

∴，∴，

∴：，

∴的對稱軸為直線，當時，，

∴的對稱軸與的交點為；

（2）∵，∴的頂點.

∵點在下方，∴與的距離是：，

∴點與距離的最大值為1；

（3）∵是，的平均數，∴，

∴，解得：或.

∵，∴，

對于，當時，，即，解得：，.

∵，∴右交點，

∴點與點間的距離為；

（4）①當時，拋物線解析式：，直線的解析式是：.

聯立上述兩個解析式可得：，，

∴可知每一個整數的值都對應著一個整數值，且－1和2019之間（包括－1和2019）共有2021個整數；

∵另外要知道所圍成的封閉圖形邊界分兩部分：線段和拋物線，

∴線段和拋物線上各有2021個整數點，∴總計4042個點.

∵這兩段圖象交點有2個點重復，

∴“美點”的個數：（個）；

②當時，拋物線解析式：，直線的解析式是：，

聯立上述兩個解析式可得：，，

∵當取整數時，在一次函數上，取不到整數值，因此在該圖象上“美點”為0，

在二次函數圖象上，當為偶數時，函數值可取整數，可知－1到2019.5之間有1010個偶數，

因此“美點”共有1010個.

故時“美點”的個數為4040個，時“美點”的個數為1010個.