Question

【題目】拋物線：與軸交于點、兩點，與軸交于點，且．

（1）直接寫出拋物線的解析式；

（2）如圖1，點在軸左側的拋物線上，將點先向右平移4個單位長度，再向下平移個單位長度，得到的對應點恰好落在拋物線上，若，求點的坐標；

（3）如圖2，將拋物線向上平移2個單位長度得到拋物線，一次函數的圖象與拋物線只有一個公共點，與軸交于點，探究：軸上是否存在定點滿足？若存在，求出點的坐標；否則，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）存在，

【解析】

（1）根據題意，求出點B的坐標，然后將點B、C的坐標代入拋物線的解析式中即可求出結論；

（2）設，則，利用待定系數法求出直線MC的解析式，過點作軸交于，根據點N與y軸的位置關系分類討論，利用“鉛垂高，水平寬”列出方程，即可求出結論；

（3）根據題意可得平移后的二次函數解析式為，設，求出直線l的解析式，然后聯立方程，令△=0即可求出，過點作于，記定點，連接、，利用相似三角形的判定證出，列出比例式即可求出結論．

解：（1）∵

∴OC=1

∵AB=4OC

∴AB=4

∵拋物線的對稱軸為y軸

∴OB=2

∴點B的坐標為（2,0）

將點B、C的坐標代入中，得

∴拋物線的解析式為．

（2）解：可設，則，

，

設，

將點N的坐標代入，得

可得：，

過點作軸交于，

，

情況一：當點在軸左側時，則

∴

解得，，（舍去），

∴此時M

情況二：當點在軸右側時，則

∴

解得，

∴此時

綜上：或．

（3）解：存在，

由題意可知：平移后的二次函數解析式為

依題意可設，

將代入l中，

可得：

聯立

整理得，

即：

當時，則

過點作于，記定點，連接、，

，

，

∴∠HEG＋∠EGH=90°，∠OGF＋∠EGH=90°

∴∠HEG=∠OGF

，

，

解得，或（由G為定點，故舍去）

．