Question

14．求證：從正六邊形的一個內角的頂點所引的三條對角線將這個角四等分．

Answer 1

分析 根據題意畫出圖形，寫出已知、求證、再證明；由正六邊形的性質得出各邊相等，各個角為120°，由等腰三角形的性質得出∠BAC=∠FAE=30°，再由HL證明Rt△ACD≌Rt△AED，得出∠CAD=∠EAD=$\frac{1}{2}$∠CAE=30°，即可得出結論．

解答 已知：如圖，AC、AD、AE是正六邊形的對角線；
求證：∠BAC=∠CAD=∠EAD=∠FAE；
證明：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠ABC=∠BCD=∠DEF=∠F=∠BAF=120°，
∴∠BAC=∠BCA=30°∠FAE=∠FEA=30°，
∴∠CAE=120°-30°-30°=60°，∠DCA=∠DEA=120°-30°=90°，
在Rt△ACD和Rt△AED中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴∠CAD=∠EAD=$\frac{1}{2}$∠CAE=30°，
∴∠BAC=∠CAD=∠EAD=∠FAE．

點評 本題考查了正六邊形的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質；熟練掌握正六邊形的性質是解決問題的關鍵．