Question

【題目】拋物線與軸交于A，B兩點，與軸交于點C，連接BC．

（1）如圖1，求直線BC的表達式；

（2）如圖1，點P是拋物線上位于第一象限內的一點，連接PC，PB，當△PCB面積最大時，一動點Q從點P從出發，沿適當路徑運動到軸上的某個點G處，再沿適當路徑運動到軸上的某個點H處，最后到達線段BC的中點F處停止，求當△PCB面積最大時，點P的坐標及點Q在整個運動過程中經過的最短路徑的長；

（3）如圖2，在（2）的條件下，當△PCB面積最大時，把拋物線向右平移使它的圖象經過點P，得到新拋物線，在新拋物線上，是否存在點E，使△ECB的面積等于△PCB的面積．若存在，請求出點E的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）點Q按照要求經過的最短路徑長為（3）存在，滿足條件的點E有三個，即（，），（，）, （，）

【解析】

（1）先求出點，，的坐標，利用待定系數法即可得出結論；

（2）先確定出，再利用三角形的面積公式得出，即可得出結論；

（3）先確定出平移后的拋物線解析式，進而求出，在判斷出建立方程即可得出結論．

解：（1）令，得，∴，．

∴ A（，0），B（，0）．

令，得．

∴C(0,3)．

設直線BC的函數表達式為，把B（，0）代入，得．

解得，．

所以直線BC的函數表達式為．

（2）過P作PD⊥軸交直線BC于M．

∵ 直線BC表達式為 ，

設點M的坐標為 ，則點P 的坐標為．

則．

∴．

∴此時，點P坐標為（，）．

根據題意，要求的線段PG+GH+HF的最小值，只需要把這三條線段“搬”在一直線上．如圖1，作點P關于軸的對稱點，作點F關于軸的對稱點，連接，交軸于點G,交軸于點H．根據軸對稱性可得，．

此時PG+GH+HF的最小值=．

∵ 點P坐標為（，），∴ 點的坐標為（，）．

∵ 點F是線段BC的中點，

∴ 點F的坐標為（，）．

∴ 點的坐標為（，）．

∵ 點，P兩點的橫坐相同，∴⊥軸．

∵ ，P兩點關于軸對稱，∴⊥軸．

∴ ．

∴．

即點Q按照要求經過的最短路徑長為．

（3）如圖2，在拋物線中，

令，

，

或，

由平移知，拋物線向右平移到，則平移了個單位，，

設點，

過點作軸交于，

直線的解析式為，

，

的面積等于的面積，

，

由（2）知，，

，

，

或或或（舍，

，或，或，．

綜上所述，滿足條件的點E有三個，即（，），（，）, （，）．