Question

11．如圖1，正方形ABCD的邊長為4厘米，E為AD邊的中點，F為AB邊上一點，動點P從點B出發，沿B→C→D→E，向終點E以每秒a厘米的速度運動，設運動時間為t秒，△PBF的面積記為S．S與t的部分函數圖象如圖2所示，已知點M（1，$\frac{3}{2}$）、N（5，6）在S與t的函數圖象上．
（1）求線段BF的長及a的值；
（2）寫出S與t的函數關系式，并補全該函數圖象；
（3）當t為多少時，△PBF的面積S為4．

Answer 1

分析 （1）根據t=5時S=6求出BF的長，根據t=1時S=$\frac{3}{2}$列式可計算出a的值；
（2）S與t的函數關系式分以下三種情況：
①點P在BC上運動時，即0≤t≤4；
②點P在CD邊上運動，即4＜t≤8；
③點P在線段DE上運動時，即8＜t≤10，分別按照三角形面積公式列出函數表達式．
（3）把S=4分別代入S=$\frac{3}{2}$t和S=18-$\frac{3}{2}$t，求得t的值即可．

解答 解：（1）根據題意可知，當點P在CD上時，△PBF的面積記為S=6，
則有：$\frac{1}{2}$×BF×4=6，解得：BF=3，
當t=1時，S=$\frac{3}{2}$，BP=a，
則有：$\frac{1}{2}$×BF×BP=$\frac{3}{2}$，即$\frac{1}{2}×3a$=$\frac{3}{2}$，
解得：a=1，
故線段BF的長為3，a的值為1；
（2）當0≤t≤4時，即點P在BC邊上運動，
S=$\frac{1}{2}$×BF×BP=$\frac{1}{2}$×3×t=$\frac{3}{2}$t；
當4＜t≤8時，即點P在CD邊上運動，
此時面積S=$\frac{1}{2}$×BF×BC=$\frac{1}{2}$×3×4=6；
當8＜t≤10時，即點P在線段DE上運動，
S=$\frac{1}{2}$×BF×AP=$\frac{1}{2}$×3×（12-t）=18-$\frac{3}{2}$t．
綜上：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}t（0≤t≤4）}\\{6（4＜t≤8）}\\{18-\frac{3}{2}t（8＜t≤10）}\end{array}\right.$；
函數圖象如下所示：

（3）當S=4時，$\frac{3}{2}$t=4，t=$\frac{8}{3}$．
18-$\frac{3}{2}$t=4，t=$\frac{28}{3}$．
故當t=$\frac{8}{3}$或 t=$\frac{28}{3}$時△PBF的面積S為4．

點評 本題考查了動點問題的函數圖象：函數圖象是典型的數形結合，圖象應用信息廣泛，通過看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實際問題，還可以提高分析問題、解決問題的能力．解決本題的關鍵是利用分類討論的思想求出S與t的函數關系式．