Question

【題目】如圖1，拋物線y＝﹣x2+2x+3的圖象與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，連接BC．

（1）求直線BC的解析式；

（2）如圖2，點P是拋物線在第一象限內的一點，作PQ∥y軸交BC于Q，當線段PQ的長度最大時，在x軸上找一點M，使PM+CM的值最小，求PM+CM的最小值；

（3）拋物線的頂點為點E，連接AE，在拋物線上是否存在一點N，使得直線AN與直線AE的夾角為45度，若存在請直接寫出滿足條件的點N的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x+3；（2）；（3）點N的坐標為：（﹣，）．

【解析】

（1）拋物線x軸交于點A、B，與y軸交于點C，則點A、B、C的坐標分別為：（-1，0）、（3，0）、（0，3），即可求解；
（2）取點C關于x軸的對稱點C′（0，-3），連接PC′交x軸于點M，則點M為所求點，此時PM+CM的最小，即可求解；
（3）設GM=AG=x，則GE=2x，AE=AG+EG=3x=，解得：x=，HM2=AH2-OM2=（x）24=，故HM=，則點H（1，），將點A、H代入一次函數表達式并解得：直線AH（N）的表達式為：y=x+，即可求解．

解：（1）拋物線y＝﹣x2+2x+3，拋物線x軸交于點A、B，與y軸交于點C，

則點A、B、C的坐標分別為：（﹣1，0）、（3，0）、（0，3），

∴將點B、C的坐標代入一次函數表達式：y＝kx+b并解得：

直線BC的表達式為：y＝﹣x+3；

（2）設點P（x，﹣x2+2x+3），則點Q（x，﹣x+3），

PQ＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝﹣x2+3x，

當x＝時，PQ有最大值，此時點P（，）；

取點C關于x軸的對稱點C′（0，﹣3），連接PC′交x軸于點M，則點M為所求點，此時PM+CM的最小，

∴PM+CM的最小值＝PC′=；

（3）如圖，設直線AN交對稱軸于點H，故點H作HG⊥AE于點G，對稱軸交x軸于點M，

tan∠AEM＝，設GM＝AG＝x，則GE＝2x，

AE＝AG+EG＝3x＝，解得：x＝，

HM2＝AH2﹣OM2＝（）2﹣4＝，

∴HM＝，則點H（1，），

將點A、H代入一次函數表達式并解得：

直線AH（N）的表達式為：；

聯立直線BC和直線AH，則：

，

解得：x＝或﹣1（舍去﹣1），

故點N的坐標為：（﹣，）．