Question

【題目】（發現問題）愛好數學的小明在做作業時碰到這樣的一道題目：

如圖1，點O為坐標原點，⊙O的半徑為1，點A（2，0）．動點B在⊙O上，連結AB，作等邊△ABC（A，B，C為順時針順序），求OC的最大值．

（解決問題）小明經過多次的嘗試與探索，終于得到解題思路：在圖①中，連接OB，以OB為邊在OB的左側作等邊三角形BOE，連接AE．

（1）請你找出圖中與OC相等的線段，并說明理由；

（2）請直接寫出線段OC的最大值．

（遷移拓展）

（3）如圖2，BC＝4，點D是以BC為直徑的半圓上不同于B、C的一個動點，以BD為邊作等邊△ABD，請求出AC的最值，并說明理由．

Answer 1

【答案】[解決問題]（1）OC＝AE，（2）OC的最大值為3．[遷移拓展]（3）AC的最大值為2+2．AC的最小值為2﹣2．

【解析】

（1）結論：OC=AE．只要證明△CBO≌△ABE即可；
（2）當E、O、A共線，AE有最大值，此時OC有最大值，據此求解即可；
（3）當點A在線段BD的左側時，以BC為邊作等邊三角形△BCM，由△ABC≌△DBM，推出AC=MD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，當點D在BC上方，DM⊥BC時，DM的值最大；當點A在線段BD的左側時，同理可求AC的最小值.

解：【解決問題】

（1）如圖1中，結論：OC＝AE，

理由：∵△ABC，△BOE都是等邊三角形，

∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，

∴∠CBO＝∠ABE，

∴△CBO≌△ABE（SAS），

∴OC＝AE．

（2）在△AOE中，AE≤OE+OA，

∴當E、O、A共線，

∴AE的最大值為3，

∴OC的最大值為3．

【遷移拓展】

（3）如圖2中，以BC為邊作等邊三角形△BCM，

∵∠ABD＝∠CBM＝60°，

∴∠ABC＝∠DBM，且AB＝DB，BC＝BM，

∴△ABC≌△DBM（SAS），

∴AC＝MD，

∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，

∵BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，

∴點D在以BC為直徑的⊙O上運動，

由圖象可知，當點D在BC上方，DM⊥BC時，DM的值最大，最大值＝2+2 ，

∴AC的最大值為2+2 ．

當點A在線段BD的右側時，同理可得AC的最小值為2-2．

綜上所述AC的最大值為2+2 ，最小值為2-2.