Question

【題目】如圖，在中，，于點，且，點分別從點向向勻速運動，速度均為;且運動過程中始終保持，直線交于點、交于點、交于點. 連接，設運動時間為.

（1）當_____時，四邊形是平行四邊形.

（2）連接，，設的面積為，求與之間的函數關系式；

（3）是否存在某一時刻，使？若存在，求出的值;若不存在，說明理由；

（4）連接，是否存在某一時刻，使點在線段的垂直平分線上？若存在，請直接寫出此時的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）2. 5；（2）；（3）；（4）存在，

【解析】

（1）假設PQCM為平行四邊形，根據平行四邊形的性質得到對邊平行，進而得到AP=AM，列出關于t的方程，求出方程的解得到滿足題意t的值；

（2）根據PQ∥AC可得△PBQ∽△ABC，根據相似三角形的形狀必然相同可知△BPQ也為等腰三角形，即BP=PQ=t，再由證得的相似三角形得底比底等于高比高，用含t的代數式就可以表示出BF，進而得到三角形的高，又點M的運動速度和時間可知點M走過的路程AM=t，所以三角形的底CM=5-t．最后根據三角形的面積公式即可得到y與t的關系式；

（3）根據三角形的面積公式，先求出三角形ABC的面積，又根據第二問求出的y與t的解析式中列比例式求出t的值即可；

（4）假設存在，則根據垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等即可得到MP=MC，過點M作MH垂直AB，由一對公共角的相等和一對直角的相等即可得到△AHM∽△ADB，由相似得到對應邊成比例進而用含t的代數式表示出AH和HM的長，再由AP的長減AH的長表示出PH的長，從而在直角三角形PHM中根據勾股定理表示出MP的平方，再由AC的長減AM的長表示出MC的平方，根據兩者的相等列出關于t的方程進而求出t的值．

（1）假設四邊形PQCM是平行四邊形，則PM∥QC，
∴AP：AB=AM：AC，

∵AB=AC，

∴AP=AM，即5-t=t，

解得：t=2.5，

∴當t=2.5時，四邊形PQCM是平行四邊形；

（2）∵PQ∥AC，AB=AC

∴△PBQ∽△ABC，

∴△PBQ為等腰三角形，PQ=PB=t，
∴，即，解得：BF=，

∴FD=BD-BF=4-，

又∵MC=AC-AM=5-t，

∴y=MCFD=（5-t）（4-）

即；

（3）存在；

∵S△ABC=ACBD=×5×4=10，

，

根據題意可得：

解得：t=2，或t=8，

∵8＞5，所以t=8不合題意，舍去

∴t=2；

（4）假設存在某一時刻t，使得M在線段PC的垂直平分線上，則MP=MC，

過M作MH⊥AB，交AB與H，如圖所示：

∵∠A=∠A，∠AHM=∠ADB=90°，

∴△AHM∽△ADB，

∴，

又∵AD=

∴ ，

∴HM=，AH=，
∴HP=5-t-=5-，
在Rt△HMP中，MP2=()2+(5-)2=t2-16t+25，

又∵MC2=（5-t）2=25-10t+t2，

∵MP2=MC2，
∴t2-16t+25=25-10t+t2

得t1＝ ，t2=0（舍去），
∴t=s時，點M在線段PC的垂直平分線上．