Question

【題目】如圖，在中，4AB=5AC，AD為的角平分線，點E在BC的延長線上，于點F，點G在AF上，FG=FD，連接EG交AC于點H，若點H是AC的中點，則的值為___________

Answer 1

【答案】

【解析】

利用角平分線的性質，得到BD＝CD；延長AC，構造一對全等三角形△ABD≌△AMD；

過點M作MN∥AD，由MD＝BD＝KD＝CD，得到等腰△DMK；然后利用角之間關系證明DM∥GN，從而推出四邊形DMNG為平行四邊形；由MN∥AD，列出比例式，求出的值．

解：已知AD為角平分線，則點D到AB、AC的距離相等，設為h．

∵，

∴BD＝CD．

如圖，延長AC，在AC的延長線上截取AM＝AB，則有AC＝4CM．連接DM．

在△ABD與△AMD中，AB＝AM，∠BAD＝∠MAD，AD＝AD，

∴△ABD≌△AMD（SAS），

∴MD＝BD＝CD．

過點M作MN∥AD，交EG于點N，交DE于點K．

∵MN∥AD，

∴，

∴CK＝CD，

∴KD＝CD．

∴MD＝KD，即△DMK為等腰三角形，

∴∠DMK＝∠DKM．

由題意，易知△EDG為等腰三角形，且∠1＝∠2；

∵MN∥AD，

∴∠3＝∠4＝∠1＝∠2，

又∵∠DKM＝∠1，

∴∠DMK＝∠4，

∴DM∥GN，

∴四邊形DMNG為平行四邊形，

∴MN＝DG＝2FD．

∵點H為AC中點，AC＝4CM，

∴．

∵MN∥AD，

∴，即，

∴．

故答案為：．