Question

17．如圖，延長平行四邊形ABCD的邊DC到E，使CE=CD，連結AE交BC于點F．
（1）試說明：△ABF≌△ECF；
（2）連結AC，BD相交于O，連結OF，問OF與AB有怎樣的數量關系與位置關系，說明理由；
（3）若AE=AD，連接BE，四邊形ABEC是什么特殊四邊形，說明理由；
（4）在（3）的條件下，當△ABC滿足AB=AC條件時，四邊形ABEC是正方形．

Answer 1

分析 （1）利用平行四邊形的性質得出∠ABF=∠ECF，∠BAF=∠CEF，進而利用全等三角形的判定得出即可；
（2）根據題意可判斷出OF是△ABC的中位線，從而可判斷出數量及位置關系；
（3）首先判定四邊形ABEC是平行四邊形，進而利用矩形的判定定理得出即可；
（4）根據鄰邊相等的矩形是正方形即可得出結論．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABF=∠ECF，∠BAF=∠CEF，
又∵CE=DC，
∴AB=CE．
在△ABF和△ECF中，
∵$\left\{\begin{array}{l}ABF=∠ECF\\ AB=CE\\∠BAF=∠CEF\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ECF（ASA）；

（2）OF=$\frac{1}{2}$AB，OF∥AB．
證明：∵OA=OC，BF=FC，
∴OF是△ABC的中位線．
∴OF=$\frac{1}{2}$AB，OF∥AB；

（3）連接BE，
∵AB∥CD，AB=CE，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
又∵AE=AD，
∴AC⊥DE，即∠ACE=90°，
∴平行四邊形ABEC是矩形；

（4）∵由（3）知，四邊形ABEC是矩形，
∴AC=AB時，四邊形ABEC是正方形．
故答案為：AB=AC．

點評 此題考查的是四邊形綜合題，涉及到平行四邊形的性質、全等三角形的判定及性質，矩形的判定與性質，難度一般，解答本題的關鍵是根據題意得出OF是△ABC的中位線．