Question

【題目】如圖①，已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，已知點為拋物線第一象限上一動點，連接、、.

（1）求拋物線的解析式，并直接寫出拋物線的頂點坐標；

（2）當的面積最大時，求出點的坐標；

（3）如圖②，當點與拋物線頂點重合時，過點的直線與拋物線交于點，在直線上方的拋物線上是否存在一點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），頂點坐標為；（2）點的坐標為；（3）存在，點的坐標為，理由見解析

【解析】

(1 )只需運用待定系數法就可求出二次函數的解析式，運用配方法就可求出拋物線的頂點坐標；

(2) 過點作軸，交線段于點，直線的表達式為:，設點的坐標為，則點坐標為,得出；可得，即可求出的面積最大時點的坐標；

（3）

在軸上取，連接，過直線與軸的交點作.利用勾股逆定理可得為直角三角形，，故，求出直線的表達式為，且點坐標為，聯立即可得點的坐標為.解得：，，，可得，故，得出，求出直線的表達式為，及直線的表達式為聯立可得點的坐標.

（1）將、代入得：

，

解得：.

∴拋物線的解析式為.

∴

∴頂點坐標為.

（2）過點作軸，交線段于點，

當時，，即，

設直線的表達式為，

將、代入得：

，解得：.

∴直線的表達式為，

設點的坐標為，則點坐標為，

∴；

∴，

∵，

∴當時，.

∴此時，

∴點的坐標為.

（3）存在.

在軸上取，連接，過直線與軸的交點作.

∵，，，

∴，，，

∴，

∴為直角三角形，，

∴，

∵直線過點，

∴，解得：.

∴直線的表達式為，且點坐標為，

由，解得：或，

即點的坐標為.

解得：，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴直線的表達式為，

∴設直線的表達式為，

將點代入得：，解得：.

∴設直線的表達式為.

由解得：或，

即點的坐標為.