Question

【題目】如圖，已知是⊙O的直徑，，點在⊙O的半徑上運動， ，垂足為，，為⊙O的切線，切點為．

（1）如圖1，當點運動到點時，求的長；

（2）如圖2，當點運動到點時，連接、，求證：∥；

（3）如圖3，設，，求y與x的解析式并求出y的最小值．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）見解析；（3），6

【解析】

（1）連接OT，根據題意，由勾股定理可得出PT的長；
（2）連接OT，則OP平分劣弧AT，則∠AOP=∠B，從而證出結論；
（3）連接PO，由勾股定理可得PO=，再由勾股定理可得出PT =，從而得出y與x之間的關系式y=，進而求得y的最小值．

（1）連接OT

∵PC=10，OT=8，

∴由勾股定理得，PT===6；

（2）證明：連接OT ，

∵PT，PC為⊙O的切線，

∴OP平分劣弧AT，

∴∠POA=∠POT，

∵∠AOT=2∠B，

∴∠AOP=∠B，

∴PO∥BT

（3）連接PO，

∵AB是⊙O的直徑，，

∴CO=8-x；

又∵

∴，即

∴PO=

∴y = PT ===

∴，

∴當x=8時，ymin=6