Question

【題目】已知二次函數的圖象與軸交于點(點在點的左側)，與軸交于點，頂點為．

(Ⅰ)當時，求二次函數的最大值；

(Ⅱ)當時，點是軸上的點，，將點繞點順時針旋轉90°得到點，點恰好落在該二次函數的圖象上，求的值；

(Ⅲ)是該二次函數圖象上的一點，在(Ⅱ)的條件下，連接，，使，求點的坐標．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)；(Ⅲ)點的坐標為或．

【解析】

（1）將b=6代入求出函數解析式，通過配方后求出二次函數的最值；

（2）將b=2代入代入求出函數解析式，過點作軸于點，證得，從而有EH=OP，從而求得，將E點的坐標代入函數解析式，解方程即可求出t的值；（3）點M的位置不確定，需要進行分類討論，分兩種情況，點M在x軸上方和在x軸下方.

解：(Ⅰ)當時，，∴二次函數的最大值為12；

(Ⅱ)當時，，

如圖1，過點作軸于點，

，

．

∵將點繞點順時針旋轉90°得到點，

．

又，

．

．

．

當點恰好在該二次函數的圖象上時，有，

解得(舍去)．

．

(Ⅲ)設點，

①若點在軸上方，

如圖2，過點作軸于點，

過點作軸于點，

過點作軸于點．

，

令，則．

．

令，則，

解得．

．

．

．

由(Ⅱ)知，

．

．

，

．

．

，

．

．

．

在中，，

在中，．

．

解得(舍去)，．

．

②若點在軸下方，

如圖3，過點作軸于點，

過點作軸于點．

與軸的交點記為，

有．

軸，

．

．

，

又，

．

在中，，

在中，．

．

解得(舍去)，．

．

綜上所述：點的坐標為或．