Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k2+k+1＝0．

（1）證明：原方程有兩個不相等的實數根；

（2）若原方程的兩實根分別為x1，x2，且（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）＝﹣3，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）k的值為2．

【解析】

（1）計算判別式得到△=（k-2）2+1，利用非負數的性質得到△＞0，從而得到結論；
（2）利用根與系數的關系得到x1+x2=3、x1x2=，再變形已知條件得到（x1+x2）2-4x1x2-1=0，即，然后解關于k的不等式即可．

（1）證明：∵△＝（﹣3）2﹣4（﹣k2+k+1）

＝k2﹣4k+5

＝（k﹣2）2+1，

∵（k﹣2）2≥0，

∴（k﹣2）2+1＞0，即△＞0，

∴無論k取何值，該方程總有兩個不相等的實數根；

（2）解：根據題意得x1+x2＝3、x1x2＝﹣k2+k+1，

∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）＝﹣3，

∴（x1﹣x2）2﹣4＝﹣3，

（x1+x2）2﹣4x1x2﹣1＝0，

即32﹣4（﹣k2+k+1）﹣1＝0，

整理得k2﹣4k+4＝0，解得k1＝k2＝2，

即k的值為2．