Question

【題目】在菱形ABCD中，的兩邊分別與AB，BC交于點E，F，與對角線AC交于點G，H，已知，．

（1）如圖1，當，時，

①求證：；

②求線段GH的長；

（2）如圖2，當繞點D旋轉時，線段AG，GH，HC的長度都在變化．設線段，，，試探究p與mn的等量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②2；（2）

【解析】

（1）①利用AAS直接得出結論；

②先判斷出，，證明是等邊三角形，進而求出，即可得出結論；

（2）先判斷出C'G＝CH＝p，再求出AP＝m，PG＝m，進而得出PC'＝nm，進而得出p2＝（nm）2＋（m）2①，再判斷出m＋n＋p＝6②，聯立即可得出結論．

（1）①證明：∵，，

∴

∵在菱形ABCD中，，，

∴；

②解：∵在菱形ABCD中，，，，

∴，，

∵，

∴，

∴，/span>

∴，

同理，

∵，，

∵

∴是等邊三角形，即，

∴，

∴；

（2）解：p與mn的等量關系是：．

理由：將繞點D順時針旋轉得到，則，，，，

連接KG，作于點R，

則，

，

∴，

又∵，，

∴，

∴，

∵在中，，

∴，，

∴，

∴在中，，即，

整理得：，

又∵，

∴，

∴，化簡得．

因此所求的等量關系式是：．