Question

13．如圖①，若AB∥CD，點P在AB，CD外部，則有∠D=∠BOD，又因為∠BOD是△POB的外角，故∠BOD=∠BPD+∠B，得∠BPD=∠D-∠B．
探究一：將點P移到AB，CD內部，如圖②，則∠BPD，∠B，∠D之間有何數量關系？并證明你的結論；
探究二：在圖②中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉一定角度交直線CD延長線于點Q，如圖③，則∠BPD，∠B，∠PDQ，∠BQD之間又有何數量關系？并證明你的結論；
探究三：在圖④中，直接根據探究二的結論，寫出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數．

Answer 1

分析 探究一，過點P作PE∥AB，根據平行線的性質可知∠B+∠BPE=180°，∠D+∠EPD=180°，即∠B+∠BPD+∠D=360°．
探究二，連接QP并延長至E，根據∠BPE是△BPQ的一個外角，得到∠BPE=∠BQP+∠B．同理得到∠EPD=∠DQP+∠PDQ，從而∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD．  
探究三，根據三角形外角性質和四邊形的內角和等于360°得出即可．

解答 探究一，∠B+∠BPD+∠D=360°，
證明：過點P作PE∥AB，如圖②，
∴∠B+∠BPE=180°，
又∵AB∥CD，
∴PE∥CD，
∴∠D+∠EPD=180°，
∴∠B+∠BPE+∠D+∠EPD=360°，
即∠B+∠BPD+∠D=360°；

探究二，∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD，
證明：連接QP并延長至E，如圖③，
∵∠BPE是△BPQ的一個外角，
∴∠BPE=∠BQP+∠B．
同理：∠EPD=∠DQP+∠PDQ．
∴∠BPE+∠EPD=∠BQP+∠B+∠DQP+∠PDQ．
即：∠BPD=∠B+∠PDQ+∠BQD；
             
探究三，如圖④，∵∠1=∠A+∠E，∠2=∠B+∠F，∠1+∠2+∠C+∠D=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

點評 本題考查了平行線的性質，同時要結合三角外角的性質，最關鍵的是知道兩直線平行，內錯角相等．