Question

【題目】如圖，在中，D是邊AB的中點，E是邊AC上一動點，連接DE，過點D作DF⊥DE交邊BC于點F（點F與點B、C不重合），延長FD到點G，使，連接EF、AG，已知，，．

（1）試說明；

（2）請你連接EG，設，，求y關于x的函數關系式；

（3）當是以BF為腰的等腰三角形時，直接寫出AE的長，不必說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）；（3）AE的長度為或

【解析】

（1）由D是AB中點知AD=DB，結合DG=DF，∠ADG=∠BDF即可證得，從而可得結論；

（2）連接EG．根據垂直平分線的判定定理即可證明EF=EG,由△ADG≌△BDF，推出∠GAB=∠B，推出∠EAG=90°，可得EF2=（8-x）2+y2，EG2=x2+（6-y）2，根據EF=EG，可得（8-x）2+y2=x2+（6-y）2，由此即可解決問題；

（3）如圖2中，分兩種情況討論即可．①當BF=DB時．②當DF=FB時，連接DC，過點D作DH⊥BC于H，想辦法求出y的值，再利用（2）的結論即可解決問題．

（1）∵D是AB中點，

∴，

∵，

∴，

∴．

（2）如圖，連接EG．

∵DG=FD，DF⊥DE，

∴EF=EG．

∵，，

∴，

又∵，

∴，

∴是直角三角形，且，

∴，

由（1）知

∴，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

（3）如圖2中，

①當BF=DB時，6-y=5，

∴y=1，1=，

∴x=，即AE=．

②當DF=FB時，連接DC，過點D作DH⊥BC于H，則DF=FB=6-y，

∵∠ACB=90°，D是AB中點，

∴DC=DB=5，

∵DH⊥BC，BC=6，

∴CH=BH=3，

∴FH=3-y，

∵DH⊥BC，由勾股定理可得DH=4，

在Rt△DHF中，（6-y）2=42+（3-y）2，

解得y=，

∴=，

解得x=，即AE=.

綜上所述，AE的長度為或．