Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ABC=120°，AC=2，⊙O是△ABC的外接圓，D是上任意一點(不包括點A、C)，順次連接四邊形ABCD四邊中點得到四邊形EFGH，則四邊形EFGH的周長的最大值為____________．

Answer 1

【答案】．

【解析】

根據圓內接四邊形的性質得到∠D=60°，連接OA，OC，過O作OM⊥AC于M，解直角三角形求出OA的值，如圖2，四邊形EFGH是邊形ABCD的中點四邊形，根據三角形的中位線的性質得到EF=HG=AC，EH=FG=BD，于是得到結論．

如圖1．

∵四邊形ABCD 是圓內接四邊形，∠ABC=120°，∴∠D=60°，

連接OA，OC，∴∠AOC=120°，

過O作OM⊥AC于M，

∴∠AOMAOC=60°，AMAC=1，

∴OA，

∴BD．

如圖2，四邊形EFGH是邊形ABCD的中點四邊形，

∴EF=HGAC，EH=FGBD，

∴當BD最大時，四邊形EFGH的周長的值最大，

∴當BD為⊙O的直徑時，四邊形EFGH的周長的值最大，

∴四邊形EFGH的周長的最大值=EF+HG+HE+GF=AC+BD=2．

故答案為：2．