Question

【題目】已知二次函數y=(x﹣m)(x﹣m﹣4)(m為常數)．

（1）求證：不論m為何值，該函數的圖象與x軸總有兩個不同的公共點；

（2）求證：不論m為何值，該函數的圖象的頂點縱坐標不變；

（3）若該函數的圖象與x軸交點為A、B，與y軸交點為C，當﹣3≤m≤﹣1時，△ABC面積S的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）6≤S≤8．

【解析】

（1）當y=0時，(x-m)(x-m-4)=0，解得x1=m，x2=m+4，即可得到結論；

（2）圖象與x軸的兩個交點坐標為(m，0)、(m+4，0)，由拋物線的對稱性可知圖象頂點橫坐標為m+2，代入解析式求得y=-4，從而求得結論；

（3）當-3≤m≤-1時，求出S=2|m2+4m|，然后根據二次函數的性質求解即可．

（1）當y=0時，(x-m)(x-m-4)=0，

解得：x1=m，x2=m+4，

∵m≠m+4，方程有兩個不相等的實數根，

∴不論m為何值，函數圖象與x軸總有兩個不同的公共點；

（2）由（1）得圖象與x軸的兩個交點坐標為(m，0)、(m+4，0)，

由拋物線的對稱性可知圖象頂點橫坐標為m+2，

把x=m+2代入y=(x﹣m)(x﹣m﹣4)得y=﹣4，

∴不論m為何值，該函數的圖象的頂點縱坐標不變為﹣4；

（3）∵y=(x﹣m)(x﹣m﹣4)=x2﹣(2m+4)x+m2+4m，

∴C(0，m2+4m)．

∵圖象與x軸的兩個交點坐標為(m，0)、(m+4，0)，

∴AB=4，

∴SABOC×|m2+4m|=2|m2+4m|，

當m=﹣3時，S=2×3=6；當m=﹣1時，S=2×3=6，

當頂點在y軸上，即m=﹣2時，|m2+4m|最大值是4，故此時S=2×4=8，∴6≤S≤8．

故答案為：6≤S≤8．