Question

利用我們學過的知識，可以導出下面這個形式優美的等式：a²+b²+c²-ab-bc-ac=

1

2

[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]，該等式從左到右的變形，不僅保持了結構的對稱性，還體現了數學的和諧、簡潔美；
（1）請你檢驗說明這個等式的正確性．
（2）若a=2011，b=2012，c=2013，你能很快求出a²+b²+c²-ab-bc-ac的值嗎？
（3）若a-b=

3

5

，b-c=

3

5

，a²+b²+c²=1，求ab+bc+ac的值．

Answer 1

（1）等式右邊=

1

2

（a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+a²-2ac+c²）=

1

2

（2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac）=a²+b²+c²-ab-bc-ac=左邊，得證；
（2）當a=2011，b=2012，c=2013時，a²+b²+c²-ab-bc-ac=

1

2

[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]=3；
（3）∵a-b=

3

5

，b-c=

3

5

，∴a-c=

6

5

，
∵a²+b²+c²=1，
∴ab+bc+ac=a²+b²+c²-

1

2

[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]=1-

1

2

（

9

25

+

9

25

+

36

25

）=-

2

25

．