Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，點O在射線上（點不與點重合），過點作，垂足為，以點為圓心，為半徑畫半圓，分別交射線于、兩點，設．

（1）如圖，當點為邊的中點時，求的值；

（2）如圖，當點與點重合時，連接，求弦的長；

（3）當半圓與無交點時，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）0＜x＜3或x＞12

【解析】

（1）首先由勾股定理求出AC的長，再證明△AOD∽△ABC，得，代入相關數據從而可求出OD；

（2）首先根據等積法求出OD，再過點D作DH⊥AC，證明△DOH∽△ABO，求出DH、OH，最后在直角三角形DFH中運用勾股定理求出DF的長即可；

（3）分點O在點C左側和點C右側兩種情況，運用相似三角形的性質求解即可．

（1）在Rt△ABC中，∵AB=10，BC=6，

∴，

∵點O為AC邊的中點，

∴．

∵OD⊥AB，∠ACB=90°，

∴∠ADO=∠ACB，

又∵∠A=∠A，

∴△AOD∽△ABC．

∴，即，∴．

（2） ∵點O與點C重合，OD⊥AB,

∴OD·AB=AC·BC，即10x=8×6，

∴． 即OD=

過點D作DH⊥AC，垂足為H，則有∠DHO=∠ACB=90°．

∵∠DOH+∠BOD=90°，∠ABO+∠BOD=90°，

∴∠DOH=∠ABO，

∴△DOH∽△ABO，

∴，即，

∴，．

∵OF=OD=，

∴FH=OH+OF=．

∴在Rt△DFH中，根據勾股定理，得：

∴．

（3）①當點O在點C左側，且與BC相切時，如圖，

設OD=x，則OC=x，

∴AO=8-x，

∵∠ADO=∠ACB，∠A=∠A，

∴△AOD∽△ABC，

∴，

∵AB=10，BC=6，AO=8-x，

∴，解得，x=3,

∴當半圓O在BC的左側，且與BC無交點時，x的取值范圍為：0＜x＜3；

②當點O在點C右側，且與BC相切時，如圖，

方法同①，得x=12，

∴當半圓O在BC的右側，且與BC無交點時，x的取值范圍為： x＞12；

綜上，當半圓與無交點時，x的取值范圍是0＜x＜3或x＞12．