Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，P在對角線AC上，E在AC的延長線上，PB＝PM ， DE＝EF.

（1）求證：∠CDE＝∠F；
（2）若AB＝5，CM＝1，求PB的長；
（3）如圖2，若BF＝10，△QCF是以CF為底的等腰三角形，連接DQ ， 試求△CDQ的最大面積.

Answer 1

【答案】
（1）

過E作EG⊥CF于G，EH⊥DC于H

則四邊形CHEG是矩形，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝∠ACD＝45°，

∴∠ECG＝∠ECH＝45°，

∴CH=EH

∵矩形CHEG是正方形

∴EG＝EH

又∵DE＝EF，∴Rt△DEH≌Rt△FEG

∴∠CDE＝∠F

（2）

解：過P作PN⊥BC于N

∵BC＝AB＝5，CM＝1，∴BM＝6

∵PB＝PM，∴BN＝NM＝3，

∴NC＝2

在Rt△PNC中，∵∠PCN＝45°，

∴PN＝NC＝2

在Rt△PNM中，PM＝ ＝ ＝ ，

∴PB＝

（3）

作QR⊥CF于R，QK⊥CD于K

則四邊形CKQR是矩形，

∴KQ＝CR

又∵△QCF是以CF為底的等腰三角形，∴ CR=RF=CF

設BC＝x，則CD＝x，

KQ＝CR＝CF＝(10－x)＝5－x

∴S△CDQ＝CD·KQ＝·x·(5－x)

＝－x2＋ x＝－(x－5)2＋

∴當x＝5，△CDQ的面積有最大值

【解析】
【考點精析】掌握等腰三角形的性質和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．