Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線經過點A（-1,0）和點B（4,5）.

（1）求該拋物線的函數表達式.

（2）求直線AB關于x軸對稱的直線的函數表達式.

（3）點P是x軸上的動點，過點P作垂直于x軸的直線l，直線l與該拋物線交于點M，與直線AB交于點N.當PM < PN時，求點P的橫坐標的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）根據待定系數法，可得二次函數的解析式；

（2）根據待定系數法，可得AB的解析式，根據關于x軸對稱的橫坐標相等，縱坐標互為相反數，可得答案；

（3）根據PM＜PN，可得不等式，利用絕對值的性質化簡解不等式，可得答案．

（1）將A（﹣1，0），B（4，5）代入函數解析式，得：

，解得：，拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3；

（2）設AB的解析式為y=kx+b，將A（﹣1，0），B（4，5）代入函數解析式，得：

，解得：，直線AB的解析式為y=x+1，直線AB關于x軸的對稱直線的表達式y=﹣（x+1），化簡，得：y=﹣x﹣1；

（3）設M（n，n2﹣2n﹣3），N（n，n+1），PM＜PN，即|n2﹣2n﹣3|＜|n+1|．

∴|（n+1）（n-3）|-|n+1|＜0，∴|n+1|（|n-3|-1）＜0．

∵|n+1|≥0，∴|n-3|-1＜0，∴|n-3|＜1，∴－1＜n-3＜1，解得：2＜n＜4．

故當PM＜PN時，求點P的橫坐標xP的取值范圍是2＜xP＜4．