【題目】如圖,將矩形OABC放在平面直角坐標系中,O為原點,點A在x軸的正半軸上,B(8,6),點D是射線AO上的一點,把△BAD沿直線BD折疊,點A的對應點為A′.
(Ⅰ)若點A′落在矩形的對角線OB上時,OA′的長= ;
(Ⅱ)若點A′落在邊AB的垂直平分線上時,求點D的坐標;
(Ⅲ)若點A′落在邊AO的垂直平分線上時,求點D的坐標(直接寫出結果即可).
【答案】(Ⅰ)6;(Ⅱ)D(8﹣2,0);(Ⅲ)點D的坐標為(3
﹣1,0)或(﹣3
﹣1,0).
【解析】分析:(Ⅰ)由點B的坐標知OA=8、AB=6、OB=10,根據折疊性質可得BA=BA′=6,據此可得答案;
(Ⅱ)連接AA′,利用折疊的性質和中垂線的性質證△BAA′是等邊三角形,可得∠A′BD=∠ABD=30°,據此知AD=ABtan∠ABD=2,繼而可得答案;
(Ⅲ)分點D在OA上和點D在AO延長線上這兩種情況,利用相似三角形的判定和性質分別求解可得.
詳解:(Ⅰ)如圖1,由題意知OA=8、AB=6,∴OB=10,由折疊知,BA=BA′=6,∴OA′=6.
故答案為:6;
(Ⅱ)如圖2,連接AA′.
∵點A′落在線段AB的中垂線上,∴BA=AA′.
∵△BDA′是由△BDA折疊得到的,
∴△BDA′≌△BDA,∴∠A′BD=∠ABD,A′B=AB,
∴AB=A′B=AA′,∴△BAA′是等邊三角形,
∴∠A′BA=60°,∴∠A′BD=∠ABD=30°,
∴AD=ABtan∠ABD=6tan30°=2,
∴OD=OA﹣AD=8﹣2,
∴點D(8﹣2,0);
(Ⅲ)①如圖3,當點D在OA上時.
由旋轉知△BDA′≌△BDA,∴BA=BA′=6,∠BAD=∠BA′D=90°.
∵點A′在線段OA的中垂線上,∴BM=AN=OA=4,∴A′M=
=
=2
,
∴A′N=MN﹣A′M=AB﹣A′M=6﹣2,
由∠BMA′=∠A′ND=∠BA′D=90°知△BMA′∽△A′ND,
則=
,即
=
,
解得:DN=3﹣5,
則OD=ON+DN=4+3﹣5=3
﹣1,
∴D(3﹣1,0);
②如圖4,當點D在AO延長線上時,過點A′作x軸的平行線交y軸于點M,延長AB交所作直線于點N, 則BN=CM,MN=BC=OA=8,由旋轉知△BDA′≌△BDA,∴BA=BA′=6,∠BAD=∠BA′D=90°.
∵點A′在線段OA的中垂線上,∴A′M=A′N=MN=4,
則MC=BN==2
,∴MO=MC+OC=2
+6,
由∠EMA′=∠A′NB=∠BA′D=90°知△EMA′∽△A′NB,
則=
,即
=
,
解得:ME=,則OE=MO﹣ME=6+
.
∵∠DOE=∠A′ME=90°、∠OED=∠MEA′,
∴△DOE∽△A′ME,
∴=
,即
=
,
解得:DO=3+1,則點D的坐標為(﹣3
﹣1,0).
綜上,點D的坐標為(3﹣1,0)或(﹣3
﹣1,0).
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【題目】如圖,一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數(x>0)的圖象交于A(2,﹣1),B(
,n)兩點,直線y=2與y軸交于點C.
(1)求一次函數與反比例函數的解析式;
(2)求△ABC的面積.
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【題目】改革開放40年以來,城鄉居民生活水平持續快速提升,居民教育、文化和娛樂消費支出持續增長,已經成為居民各項消費支出中僅次于居住、食品煙酒、交通通信后的第四大消費支出,如圖為北京市統計局發布的2017年和2018年我市居民人均教育、文化和娛樂消費支出的折線圖.
說明:在統計學中,同比是指本期統計數據與上一年同期統計數據相比較,例如2018年第二季度與2017年第二季度相比較;環比是指本期統計數據與上期統計數據相比較,例如2018年第二季度與2018年第一季度相比較.
根據上述信息,下列結論中錯誤的是( 。
A. 2017年第二季度環比有所提高
B. 2017年第三季度環比有所提高
C. 2018年第一季度同比有所提高
D. 2018年第四季度同比有所提高
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【題目】每年農歷五月初五為端午節,中國民間歷來有端午節吃粽子、賽龍舟的習俗.某班同學為了更好地了解某社區居民對鮮肉粽(A)豆沙粽(B)小棗粽(C)蛋黃粽(D)的喜愛情況,對該社區居民進行了隨機抽樣調查,并將調查情況繪制成如下兩幅統計圖(尚不完整).
分析圖中信息,本次抽樣調查中喜愛小棗粽的人數為________;若該社區有10000人,估計愛吃鮮肉粽的人數約為________.
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【題目】某商場銷售一批名牌襯衫,平均每天可售出件,每件盈利
元,為擴大銷售增加盈利,盡快減少庫存,商場決定采取適當的降價措施,經調查發現,如果每件襯衫每降價一元,市場每天可多售
件,問他降價多少元時,才能使每天所賺的利潤最大?并求出最大利潤.
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【題目】為了了解班級學生數學課前預習的具體情況,鄭老師對本班部分學生進行了為期一個月的跟蹤調查,他將調查結果分為四類:A:很好;B:較好;C:一般;D:不達標,并將調查結果繪制成以下兩幅不完整的統計圖,請你根據統計圖解答下列問題:
(1)C類女生有 名,D類男生有 名,將上面條形統計圖補充完整;
(2)扇形統計圖中“課前預習不達標”對應的圓心角度數是 ;
(3)為了共同進步,鄭老師想從被調查的A類和D類學生中各隨機機抽取一位同學進行“一幫一”互助學習,請用畫樹狀圖或列表的方法求出所選兩位同學恰好是一男一女同學的概率,
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【題目】如圖,已知點P是等邊△ABC內一點,PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度數.
(1)在圖中畫出:將△BPC繞點B逆時針旋轉60°后得到△BEA;
(2)連接EP,完成你的解答.
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【題目】如圖所示,某小組同學為了測量對面樓AB的高度,分工合作,有的組員測得兩樓間距離為40米,有的組員在教室窗戶處測得樓頂端A的仰角為30°,底端B的俯角為10°,請你根據以上數據,求出樓AB的高度.(精確到0.1米)
(參考數據:sin10°≈0.17, cos10°≈0.98, tan10°≈0.18, ≈1.41,
≈1.73)
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