Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為8，點E是DC上的一動點，過點作EF⊥AE，交BC于點F，連結AF.

（1）證明：△ADE∽△ECF；

（2）若△ADE的周長與△ECF的周長之比為4：3，求BF的長.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）6.5.

【解析】

（1）根據正方形的性質證明∠FEC =∠DAE，即可求解；

（2）根據周長比得到相似比，故，求出FC，即可求解.

解： (1)∵四邊形ABCD是正方形

∴∠C =∠D=90°, AD=DC=8,

∵EF⊥AC，

∴∠AEF=90°,

∴∠AED +∠FED =90°

在Rt△ADE中，∠DAE+∠AED =90°

∴∠FEC =∠DAE

∴ △DAE∽△FEC

(2) ∵△DAE∽△FEC

∴

∵△ADE的周長與△ECF的周長之比為4：3

∴△ADE的邊長與△ECF的邊長之比為4：3

即

∵AD =8, ∴EC=6

∴DE=8-6=2

∴

∴FC =1.5

∴DF =8-1.5=6.5