Question

8．在△ABC中，已知D為直線BC上一點，若∠ABC=x°，∠BAD=y°．
（1）若CD=CA=AB，請求出y與x的等量關系式；
（2）當D為邊BC上一點，并且CD=CA，x=40，y=30時，則AB= AC（填“=”或“≠”）；
（3）如果把（2）中的條件“CD=CA”變為“CD=AB”，且x，y的取值不變，那么（1）中的結論是否仍成立？若成立請寫出證明過程，若不成立請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由CD=CA，可表示出∠ADC的度數，又由三角形外角的性質，可得∠ADC=∠B+∠BAD，則可得方程：90-$\frac{1}{2}$x=x+y，繼而求得答案；
（2）由CD=CA，x=40，y=30，首先可求得∠ADC的度數，繼而證得CD=CA，則可求得∠C=∠B=40°，證得AB=AC；
（3）首先在BC上取點E，使BE=CD=AB，連接AE，易證得AD=AE，繼而可得△ADB≌△AEC（SAS），則可證得結論．

解答 解：（1）∵∠ABC=x°，CA=AB，
∴∠C=∠ABC=x°，
∵CD=CA，
∴∠ADC=∠CAD=$\frac{180°-∠C}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$x°，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴90-$\frac{1}{2}$x=x+y，
即：3x+2y=180；

（2）∵CD=CA，∠ABC=x°=40°，∠BAD=y°=30°，
∴∠ADC=∠ABC+∠BAD=70°，
∵CD=CA，
∴∠CAD=∠CDA=70°，
∴∠C=40°，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC；
故答案為：=；

（3）成立．
理由：在BC上取點E，使BE=CD=AB，連接AE，
則∠AEB=∠EAB=$\frac{1}{2}$（180°-40°）=70°，
∴∠AEB=∠ADE=70°，
∴AD=AE，
∴∠ADB=∠AEC=180°-70°=110°，
∵BD=BE-DE，CE=CD-DE，
∴BD=EC，
在△ADB和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠ADB=∠AEC}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴AB=AC．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質以及三角形外角的性質．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．