Question

設m為整數，且關于x的方程mx²+2（m-5）x+m-4=0有整數根，則m的值為     ．

Answer 1

【答案】分析：分兩種情況進行討論：①一元一次方程時，m=0，方程無整數解；②一元二次方程時，△≥0，且根為整數，求出m的值即可．
解答：解：∵關于x的方程mx²+2（m-5）x+m-4=0有整數根，
∴△=4（m-5）²-4m（m-4）≥0，
∴m≤，
∵-與為整數，
∴m=±1，±2．
（1）若m=0，方程為-10x-4=0，x=根不是整數；
（2）m≠0時，方程有根，那么△≥0，即△=4（m-5）²-4m（m-4）=100-24m=4（25-6m）≥0，
∴m≤，
方程的根為x==
∵方程有整根，
∴25-6m一定是個平方數，而且滿足m≤，
∴設25-6m=k²（k＞0且k為整數），則m==
∴方程根為-1±=-1，
將m=代入得，-1，
∴方程兩個根可以寫成x₁=-1，x₂=-1，
若x₁是整數，
∴只有當k=2，3，4，6，7，8，11時，
為整數．其對應的m分別為，，，-4，，-16，
若x₂是整數，則只有當k=1時，為整數，
對應的m=4．其中m是整數的只有m=-4，4，-16．
∴m的值為-4，4，-16．
點評：本題考查了方程的特殊解，此題難度較大．