Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點（點在點的左側），與軸交于點.

（1）求點的坐標.

（2）當時，經過點的直線與拋物線的另一個交點為.該拋物線在直線上方的部分與線段組成一個新函數的圖象.請結合圖象回答：若新函數的最小值大于，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（-1，0）；（2）-1＜k＜0

【解析】

（1）對于拋物線解析式，令y=0得到關于x的方程，求出方程的解，根據A在B的左側且m大于0，求A的坐標即可；
（2）由（1）的結果表示出B的坐標，根據拋物線與y軸交于點C，表示出C坐標，進而表示出AB與OC，由三角形ABC面積為15，利用三角形面積公式列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，確定出拋物線解析式，確定出C坐標，設直線l解析式為y=kx+b，把C坐標代入求出b的值，拋物線解析式配方后，經判斷得到當點D在拋物線對稱軸右側時，新函數的最小值有可能大于-8，令y=-8求出x的值，確定出拋物線經過點（3，-8），把（3，-8）代入一次函數解析式求出k的值，由圖象確定出滿足題意k的范圍即可．

解：（1）∵拋物線y=x2-（m-1）x-m（m＞0）與x軸交于A、B兩點，
∴令y=0，即x2-（m-1）x-m=0，
解得：x1=-1，x2=m，
又∵點A在點B左側，且m＞0，
∴點A的坐標為（-1，0）；
（2）由（1）可知點B的坐標為（m，0），
∵拋物線與y軸交于點C，
∴點C的坐標為（0，-m），
∵m＞0，
∴AB=m+1，OC=m，
∵S△ABC=15，
∴m（m+1）=15，即m2+m-30=0，
解得：m=-6或m=5，
∵m＞0，
∴m=5；
則拋物線的表達式為y=x2-4x-5，

∴點C的坐標為（0，-5），
∵直線l：y=kx+b（k＜0）經過點C，
∴b=-5，
∴直線l的解析式為y=kx-5（k＜0），
∵y=x2-4x-5=（x-2）2-9，
∴當點D在拋物線頂點處或對稱軸左側時，新函數的最小值為-9，不符合題意；
當點D在拋物線對稱軸右側時，新函數的最小值有可能大于-8，
令y=-8，即x2-4x-5=-8，
解得：x1=1（不合題意，舍去），x2=3，
∴拋物線經過點（3，-8），
當直線y=kx-5（k＜0）經過點（3，-8）時，可求得k=-1，
由圖象可知，當-1＜k＜0時新函數的最小值大于-8．