Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的中線，過點D作DE⊥BC于E，過點C作AB的平行線與DE的延長線交于點F，連接BF，AF．

(1)求證：四邊形BDCF為菱形：

(2)若四邊形BDCF的面積為24，CE：AC=2：3，求AF的長．

Answer 1

【答案】(1) 見解析；(2)

【解析】（1）求出四邊形ADFC是平行四邊形，推出CF=AD=BD，根據平行四邊形的判定得出四邊形BDCF是平行四邊形，再證CD=BD即可；

（2）設CE=2x，AC=3x，求出BC=4x，DF=AC=3x，根據菱形的面積公式求出x，再根據勾股定理求出AF即可．

解：(1)證明：DE⊥BC,∠ACB=90°，

∴∠BED=∠ACB，

∴DF∥AC，

∵CF∥AB，

∴四邊形ADFC是平行四邊形，

∴AD=CF，

∵D為AB的中點，

∴AD=BD，

∴BD=CF，

∵BD∥CF，

∴四邊形BDCF是平行四邊形，

∵∠ACB=90°，D為AB的中點，

∴DC=BD，

∴四邊形BDCF是菱形；

(2)∵CE：AC=2：3，

∴設CE=2x，AC=3x，

∵四邊形BDCF是菱形，

∴BE=CE=2x，

∴BC=4x，

∵四邊形ADFC是平行四邊形，

∴DF=AC=3x，

∵四邊形BDCF的面積為24，

∴×BC×DF=24，

∴4x3x=24，

解得：x=2(負數舍去)，

∴CE=4，DF=6，

∴AC=6，EF=DF=3

作FG⊥AC交AC的延長線于點G，可得矩形ECGF,

∴FG=CE=4，AG=AC+CG=6+3=9,

在Rt△AFG中，

由勾股定理得，AF=.