Question

【題目】在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+ax+2a+1的圖象經過點M（2，-3）。

（1）求二次函數的表達式；

（2）若一次函數y=kx+b（k≠0）的圖象與二次函數y=x2+ax+2a+1的圖象經過x軸上同一點，探究實數k，b滿足的關系式；

（3）將二次函數y=x2+ax+2a+1的圖象向右平移2個單位，若點P（x0，m）和Q（2，n）在平移后的圖象上，且m＞n，結合圖象求x0的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1）y=x2-2x-3；（2）k=b；（3）x0＜2或x0＞4．

【解析】

（1）將點M坐標代入y=x2+ax+2a+1，求出a的值，進而可得到二次函數表達式；（2）先求出拋物線與x軸的交點，將交點代入一次函數解析式，即可得到k，b滿足的關系；（3）先求出平移后的新拋物線的解析式，確定新拋物線的對稱軸以及Q的對稱點Q′，根據m＞n結合圖像即可得到x0的取值范圍.

（1）把M（2，-3）代入y=x2+ax+2a+1，可以得到4+2a+2a+1=-3，a=-2，

因此，二次函數的表達式為：y=x2-2x-3；

（2）y=x2-2x-3與x軸的交點是：（3，0），（-1，0）．

當y=kx+b（k≠0）經過（3，0）時，3k+b=0；

當y=kx+b（k≠0）經過（-1，0）時，k=b．

（3）將二次函數y=x2-2x-3的圖象向右平移2個單位得到y=x2-6x+5，

對稱軸是直線x=3，因此Q（2，n）在圖象上的對稱點是（4，n），

若點P（x0，m）使得m＞n，結合圖象可以得出x0＜2或x0＞4．