Question

【題目】如圖1，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，，矩形的邊，延長交拋物線于點.

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖2，點是直線上方拋物線上的一個動點，過點作軸的平行線交直線于點，作，垂足為.設的長為，點的橫坐標為，求與的函數關系是（不必寫出的取值范圍），并求出的最大值；

（3）如果點是拋物線對稱軸上的一點，拋物線上是否存在點，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2；（2）l=﹣（m+）2+，最大值為；（3）（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．

【解析】

試題分析：（1）由條件可求得A、B的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）可先求得E點坐標，從而可求得直線OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的長，從而可表示出l的長，再利用二次函數的性質可求得其最大值；

（3）分AC為邊和AC為對角線，當AC為邊時，過M作對稱軸的垂線，垂足為F，則可證得△MFN≌△AOC，可求得M到對稱軸的距離，從而可求得M點的橫坐標，可求得M點的坐標；當AC為對角線時，設AC的中點為K，可求得K的橫坐標，從而可求得M的橫坐標，代入拋物線解析式可求得M點坐標．

試題解析：（1）∵矩形OBDC的邊CD=1，

∴OB=1，

∵AB=4，

∴OA=3，

∴A（﹣3，0），B（1，0），

把A、B兩點坐標代入拋物線解析式可得

，

解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2；

（2）在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，

∴E（﹣2，2），

∴直線OE解析式為y=﹣x，

由題意可得P（m，﹣ m2﹣m+2），

∵PG∥y軸，

∴G（m，﹣m），

∵P在直線OE的上方，

∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，

∵直線OE解析式為y=﹣x，

∴∠PGH=∠COE=45°，

∴l=PG= [﹣（m+）2+]=﹣（m+）2+，

∴當m=﹣時，l有最大值，最大值為；

（3）①當AC為平行四邊形的邊時，則有MN∥AC，且MN=AC，如圖，過M作對稱軸的垂線，垂足為F，設AC交對稱軸于點L，

則∠ALF=∠ACO=∠FNM，

在△MFN和△AOC中

∴△MFN≌△AOC（AAS），

∴MF=AO=3，

∴點M到對稱軸的距離為3，

又y=﹣x2﹣x+2，

∴拋物線對稱軸為x=﹣1，

設M點坐標為（x，y），則|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，

當x=2時，y=﹣，當x=﹣4時，y=，

∴M點坐標為（2，﹣）或（﹣4，﹣）；

②當AC為對角線時，設AC的中點為K，

∵A（﹣3，0），C（0，2），

∴K（﹣，1），

∵點N在對稱軸上，

∴點N的橫坐標為﹣1，

設M點橫坐標為x，

∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此時y=2，

∴M（﹣2，2）；

綜上可知點M的坐標為（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．