Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，點E以lcm/s的速度從點A向點D運動，運動時間為t（s），連結BE，過點E作EF⊥BE，交CD于F，以EF為直徑作⊙O．

（1）求證：∠1=∠2；

（2）如圖2，連結BF，交⊙O于點G，并連結EG．已知AB=4，AD=6．

①用含t的代數式表示DF的長

②連結DG，若△EGD是以EG為腰的等腰三角形，求t的值；

（3）連結OC，當tan∠BFC=3時，恰有OC∥EG，請直接寫出tan∠ABE的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①DF=，②t的值為3或2；（3）tan∠ABE=1

【解析】

（1）根據矩形的性質得到，，根據余角的性質即可得到結論；

（2）①根據相似三角形的性質即可得到結論；

②當時，根據相似三角形的性質得到結論；當時，根據全等三角形的性質和勾股定理即可得到結論；

（3）如圖2，過作于，設，，得到，根據三角形的中位線的性質得到，根據三角函數的定義得到，，根據相似三角形的性質即可得到結論．

（1）∵四邊形是矩形

∴，

∴

∵

∴

∵

∴

∴

（2）①∵，

∴

∴

∵，，

∴

∴

②當時

∴

∵，

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴

當時，∴

∵，

∴

∵，

∴

∴

∵

∴

∴

綜上所述，若是以為腰的等腰三角形，的值為或．

（3）

理由：如圖2，過作于

∵

設，

∵

∴

∵，

∴

∵

∴

∵，

∴

∴

∴，

∴，

由，得:

即

解得：，

∴