Question

【題目】如圖1，拋物線與軸相交于、兩點（點在點的右側），與軸相交于點，對稱軸與軸相交于點，與相交于點．

（1）點是線段上方拋物線上一點，過點作交拋物線的對稱軸于點，當面積最大時，點、在軸上（點在點的上方），，點在直線上，求的最小值．

（2）點為中點，軸于，連接，將沿翻折得△，如圖所示，再將△沿直線平移，記平移中的△為△，在平移過程中，直線與軸交于點，則是否存在這樣的點，使得△為等腰三角形？若存在，求出點坐標．

Answer 1

【答案】（1）的最小值為；（2）點的坐標為或．

【解析】

（1）由拋物線解析式可求A(6，0)，C(0，)，對稱軸x=2，過P點作PT′∥QT，由PQ∥AC可知，四邊形QTT′P是平行四邊形，QT=PT’，因為HT為定值，所以PT′最大時，△AQH面積最大，由此構建二次函數，求出點P坐標，過點G作GE⊥x軸于E，作x軸關于直線AC的對稱直線l，E的對稱點為E′，將PM沿y軸向下平移個單位至P′N，作點P′關于y軸的對稱點P″，過P″作P″S⊥l于S，則有PM+NG+GA=P″N+NG+GE′≥P″S，求出P″S即可；
（2）先求得點E，F，F′，H′，R的坐標，根據△RF'H'為等腰三角形，分三種情況分別求解即可．

（1）如圖1，拋物線與軸相交于、兩點（點在點的右側），

；；，，

直線的解析式為：，

，

過點作，交于，

設，，

則

，

四邊形是平行四邊形，

，

當面積最大時，最大，即最大，

即時，面積最大，

此時點坐標為．

過點作軸于，作軸關于直線的對稱直線，的對稱點為，將沿軸向下平移個單位至，作點關于軸的對稱點，過作于，則有

，與關于軸對稱

，

，直線與軸關于直線對稱

，

設直線的解析式為，則

，將代入得：，解得：，

直線的解析式為，

過點作軸交于，則，，

，

軸

，

的最小值；

（2）

拋物線對稱軸為直線，

，

由（1）知：；；，，

點為中點，軸于，

，

，

△沿直線平移，各個點橫縱坐標變化為，設△沿直線平移后的△各頂點坐標分別為

，

則直線解析式為，令，則

，

，

，

，

△為等腰三角形，

或或，

①當時，則，解得：，

此時，或

②當時，則，解得：或，

不符合題意，與①重復

③當時，，解得：，與①重復

綜上所述，點的坐標為或．