Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的圓O交BC于D，交AC于點E，過點D作DF⊥AC于點F，交AB延長線于點G，連結AD．

（1）∠ADB＝　 　°，依據是　 　；

（2）求證：DF是圓O的切線；

（3）已知BC＝4，CF＝2，求AE和BG的長．

Answer 1

【答案】（1）90，半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；（2）見解析；（3）AE＝6，BG＝．

【解析】

（1）根據半圓（或直徑）所對的圓周角是直角可得結論；

（2）連接OD，由（1）知AD⊥BC，結合等腰三角形的性質知BD＝CD，再根據OA＝OB知OD∥AC，從而由DF⊥AC可得OD⊥DF，即可得證；

（3）連接BE．BE∥DF，可得DF是△BEC的中位線，設AE＝x，則AC＝AB＝x+4，根據勾股定理列方程可得x的值，證明△GOD∽△GAF，列比例式可得BG的長．

解：（1）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，

故答案為：90，半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；

（2）連接OD，

∵∠ADB＝90°，即AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD，

又∵OA＝OB，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴DF是圓O的切線；

（3）連接BE．

∵CD＝BC＝2，

∵CF＝2，

∴DF＝＝＝4，

∵AB是直徑，

∴∠AEB＝∠CEB＝90°，

∴BE⊥AC，

∵DF⊥AC，

∴DF∥BE，

∴EF＝FC＝2，

∴BE＝2DF＝8，

設AE＝x，則AC＝AB＝x+4

由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2，

（x+4）2＝82+x2，

x＝6，

∴AE＝6，AB＝4+6＝10，

∵OD∥AF，

∴△GOD∽△GAF，

∴，

∴，BG＝．