Question

【題目】（模型介紹）

古希臘有一個著名的“將軍飲馬問題”，大致內容如下：古希臘一位將軍，每天都要巡查河岸同側的兩個軍營．他總是先去營，再到河邊飲馬，之后，再巡查營．如圖①，他時常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大數學家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題．如圖②，作點關于直線的對稱點，連結與直線交于點，連接，則的和最小．請你在下列的閱讀、理解、應用的過程中，完成解答．理由：如圖③，在直線上另取任一點，連結，，，∵直線是點，的對稱軸，點，在上，

（1）∴__________，_________，∴____________．在中，∵，∴，即最�。�

（歸納總結）

在解決上述問題的過程中，我們利用軸對稱變換，把點在直線同側的問題轉化為在直線的兩側，從而可利用“兩點之間線段最短”，即轉化為“三角形兩邊之和大于第三邊”的問題加以解決（其中點為與的交點，即，，三點共線）．由此，可拓展為“求定直線上一動點與直線同側兩定點的距離和的最小值”問題的數學模型．

（模型應用）

（2）如圖④，正方形的邊長為4，為的中點，是上一動點．求的最小值．

解析：解決這個問題，可借助上面的模型，由正方形對稱性可知，點與關于直線對稱，連結交于點，則的最小值就是線段的長度，則的最小值是__________．

（3）如圖⑤，圓柱形玻璃杯，高為，底面周長為，在杯內離杯底的點處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在外壁，離杯上沿與蜂蜜相對的點處，則螞蟻到達蜂的最短路程為_________．

（4）如圖⑥，在邊長為2的菱形中，，將沿射線的方向平移，得到，分別連接，，，則的最小值為____________．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）；（3）17；（4）

【解析】

（1）根據對稱性即可求解；

（2）根據正方形的對稱性知B關于AC的對稱點是D，連接ED，則ED是的最小值；

（3）先將玻璃杯展開，再根據勾股定理求解即可；

（4）分析知：當與垂直時，值最小，再根據特殊角計算長度即可；

解：（1）根據對稱性知：，

故答案為：，，；

（2）根據正方形的對稱性知B關于AC的對稱點是D，連接ED

∴ED是的最小值

又∵正方形的邊長為4，E是AB中點

∴

∴的最小值是；

（3）由圖可知：螞蟻到達蜂的最短路程為 的長度：

∵

∴

∴

（4）∵在邊長為2的菱形ABCD中，，將沿射線的方向平移，得到

∴

當與垂直時，值最小

∵

∴四邊形是矩形，

∴

∴