Question

【題目】已知拋物線的對稱軸是直線，與軸相交于，兩點（點在點右側），與軸交于點.

（1）求拋物線的解析式和，兩點的坐標；

（2）如圖，若點是拋物線上、兩點之間的一個動點（不與、重合），是否存在點，使四邊形的面積最大？若存在，求點的坐標及四邊形面積的最大值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：；點的坐標為，點的坐標為；（2）存在點，使四邊形的面積最大；點的坐標為，四邊形面積的最大值為32.

【解析】

（1）根據對稱軸公式可以求出a，從而可得拋物線解析式，再解出拋物線解析式y=0是的兩個根，即可得到A，B的坐標；

（2）根據解析式可求出C點坐標，然后設直線的解析式為，從而可求該解析式方程，假設存在點,使四邊形的面積最大，設點的坐標為，然后過點作軸，交直線于點，從而可求答案.

解：（1）∵拋物線的對稱軸是直線，

∴，解得，

∴拋物線的解析式為：.

當時，，解得，，

∴點的坐標為，點的坐標為.

答：拋物線的解析式為：；點的坐標為，點的坐標為.

（2）當時，，∴點的坐標為.

設直線的解析式為，

將,代入得，解得，

∴直線的解析式為.

假設存在點,使四邊形的面積最大，

設點的坐標為，

如圖所示，過點作軸，交直線于點，

則點的坐標為，

則，

∴

∴當時，四邊形的面積最大，最大值是32

∵，

∴存在點,使得四邊形的面積最大.

答：存在點，使四邊形的面積最大；點的坐標為，四邊形面積的最大值為32.