Question

【題目】如圖1，菱形中，，是對角線上的一點，點在的延長線上，且，交于，連接.

（1）證明：；

（2）判斷的形狀，并說明理由.

（3）如圖2，把菱形改為正方形，其他條件不變，直接寫出線段與線段的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）是等邊三角形，理由見解析；（3）.

【解析】

（1）由菱形性質可知，，，即可證明；

（2）由△PDA≌△PDC，推出PA=PC，由PA=PE，推出，可知，由PA═PE=PC，即可證明△PEC是等邊三角形；

（3）由△PDA≌△PDC，推出PA=PC，∠3=∠1，由PA=PE，推出∠2=∠3，推出∠1=∠2，由∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC，推出∠FPC=EDF=90°，推出△PEC是等腰直角三角形即可解答；

（1）證明：在菱形中，，，

在和

，

∴.

（2）是等邊三角形，

由（1）知，，∴，，

∵，∴，

∴，

∵（對頂角相等），

∴，

即，

又∵，；

∴，

∴是等邊三角形.

（3）.

過程如下：證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，∠ADC=90°，
在△PDA和△PDC中，

，，
∴△PDA≌△PDC，
∴PA=PC，∠3=∠1，
∵PA=PE，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∵∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC，
∴∠FPC=EDF=90°，
∴△PEC是等腰直角三角形．

∴CE==.