Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A在x軸上，點C在y軸上，點B的坐標為（8，4），動點D從點O向點A以每秒兩個單位的速度運動，動點E從點C向點O以每秒一個單位的速度運動，設D、E兩點同時出發，運動時間為t秒，將△ODE沿DE翻折得到△FDE．

（1）若四邊形ODFE為正方形，求t的值；

（2）若t＝2，試證明A、F、C三點在同一直線上；

（3）是否存在實數t，使△BDE的面積最��？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝；（2）見解析；（3）存在實數t，使△BDE的面積最小，t＝2秒．理由見解析.

【解析】

（1）由正方形的性質得出OE∥DF，OE=DF由折疊的性質得出OD=DF，由OD=2t，OE=4-t，得出方程2t=4-t，解方程即可；
（2）連接AC，作OG⊥AC于G，由t=2，得出OE=CE=2，OD=DA=4，由三角形中位線定理得出DE∥AC，且DE=AC，由平行線得出，得出DE垂直平分OF，得出G與F點重合，即可得出結論；
（3）由題意得出S△BDE=S矩形OABC-S△BCE-S△ABD-S△ODE=t2-4t+16，由二次函數的性質即可得出結果．

（1）解：∵矩形OABC中，B（8，4），

∴OA＝8，OC＝4，

∵四邊形ODEF為正方形，

∴OE∥DF，OE＝DF，

∵△ODE沿DE翻折得到△FDE，

∴OD＝DF，

∵OD＝2t，OE＝4﹣t，

∴2t＝4﹣t，t＝；

（2）證明：連接AC，作OG⊥AC于G，如圖1所示：

∵t＝2，

∴OE＝BE＝2，OD＝DE＝4，

∴DE是△OAC的中位線，

∴DE∥AC，且DE＝AC，

∴

∴DE垂直平分OF，

由折疊的性質得：DE垂直平分OF，

∴G與F點重合，

即A、C、F三點在同一條直線；

（3）解：存在，理由如下：如圖2所示：

∵S△BDE＝S△ABC﹣S△BCE﹣S△ABD﹣S△ODE

＝

＝32﹣4t﹣16+4t﹣4t+t2

＝t2﹣4t+16

＝（t﹣2）2+12，

∴t＝2時，S△BDE有最小值為12；

即存在實數t，使△BDE的面積最小，t＝2秒．